I numeri con una proprietà rara sono ciò che piace a questo matematico

Esiste una sequenza di un milione di numeri consecutivi, nessuno dei quali è primo? Esiste un numero primo per ogni numero compreso tra questo numero e il suo doppio? Esiste un numero primo con più di un miliardo di cifre senza la cifra 7? Esiste un numero infinito di numeri primi gemelli, coppie di numeri primi che sono solo due diversi l’uno dall’altro?

Sono domande come questa che incuriosiscono il britannico James Maynard (35) dell’Università di Oxford. Ma ancor più delle domande stesse, è interessato alle tecniche di base necessarie per rispondere ad esse. Ha dato un grande impulso negli ultimi anni. “Maynard continua a trovare nuove strade, anche quando le cose sembrano senza speranza”, dice il matematico Frits Beukers nel 2020 su di lui in NRC† Maynard ora riceve una medaglia Fields, la più alta onorificenza per i giovani matematici.

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Le domande di cui sopra hanno in comune che quasi chiunque può capirle. Naturalmente, è necessario sapere quali sono i numeri primi (numeri divisibili solo per 1 e per se stessi), ma per il resto non è necessaria alcuna competenza. Rispondere alle domande è diverso. La prima domanda è sempre facile: moltiplica i primi numeri naturali per un milione e aggiungi 2 ad essi, e avrai il primo numero della sequenza desiderata. Per vedere questo, non è necessario fare il calcolo, ma riflettere sulla struttura di questo numero costruito.

La domanda 2 è più difficile. La risposta (sì) fu data nel 1850 dal russo Pafnuti Chebysjov. La domanda 3 – sui numeri primi grandi senza la cifra 7 – era un problema aperto fino a pochi anni fa, quando Maynard dimostrò che esiste davvero un numero primo senza sette con oltre un miliardo di cifre. In effetti, ce ne sono un numero infinito.

L’ultimo dei problemi posti è una questione scottante di teoria dei numeri, che nessuno è ancora stato in grado di risolvere. Ma Maynard ci è andato vicino: alla fine del 2013 ha dimostrato che esistono infinite coppie di numeri primi che differiscono al massimo di 600 tra loro. Questo non è ovvio, perché i numeri primi sono sempre più rari all’aumentare dei numeri. Il fatto che la distanza tra due numeri primi consecutivi sia sempre maggiore di 600 da un certo momento non è qualcosa di impossibile a priori. La dimostrazione di Maynard era spettacolare, sebbene un altro matematico, il cinese Yitang Zhang, avesse presentato un risultato molto simile pochi mesi prima.

jeans e camicia

Nel 2016 Maynard – quasi sempre vestito con jeans e camicia, i primi due bottoni aperti – ha tenuto un discorso al Congresso olandese di matematica ad Amsterdam. Camminava senza pretese, chiacchierando con tutti durante la pausa caffè. Questo giornale ha segnale più volte dei suoi risultati. Maynard era sempre pronto a rispondere a e-mail piene di domande sul suo lavoro astratto. Il suo lavoro più recente è sui “Punti zero della funzione di Riemann Zeta”, che è legato all’ipotesi di Riemann, il mistero più ricercato in matematica. Una prestampa ha caricato il mese scorso.

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Per il canale YouTube numerofilo Maynard ha realizzato diversi cortometraggi negli ultimi anni per spiegare il suo lavoro a un vasto pubblico. Uno di questi riguarda il già citato numeri primi senza sette† Ci sono ancora alcuni numeri primi a venti cifre senza un 7, un esempio è 49,135,832,685,980.009.261. Ma con numeri molto grandi, l’assenza del sette è eccezionale. La stragrande maggioranza dei numeri, diciamo, di un milione di cifre, contiene tutte le cifre da 0 a 9. Non è affatto ovvio che l’insieme dei numeri naturali senza sette contenga un’infinità di numeri primi. Non c’è niente di speciale nel numero 7, comunque. Puoi fare la stessa domanda se sostituisci questo 7 con un numero diverso.

Maynard ha dimostrato che ci sono sempre numeri primi a cui manca un numero, non importa quanto in alto si sale la scala dei numeri. La difficoltà, ovviamente, è: come provare una cosa del genere? Maynard ha bisogno di novanta pagine. Il suo posto dal 2019 a Invenzioni matematiche contiene un mix di idee di analisi, combinatoria e algebra.

Devi guardare fino a che punto vai con i numeri di potatura

Un’ovvia domanda di follow-up è: ci sono anche infiniti numeri primi in cui mancano due cifre specifiche, ad esempio 4 e 7? “È una questione aperta, non lo sappiamo”, ha detto Maynard nel numerofilo-video. Sospetta che la risposta sia sì. “Ma”, aggiunge, “con l’assenza di una sola cifra, siamo già al limite delle attuali tecniche di dimostrazione”. Maynard quindi non si aspetta che questa domanda di follow-up abbia una risposta a breve. “Inoltre”, dice, “devi stare attento a quanto vai lontano con i numeri di potatura”. Esempio semplice: sebbene ci siano un’infinità di numeri con solo cifre pari, non ci sono numeri primi con questa proprietà tranne il numero 2.

In meno di dieci anni Maynard è passato da studente di dottorato a una delle figure di spicco nel suo campo. Il suo lavoro svela gradualmente il misterioso mondo dei numeri primi. E la speranza, ovviamente, è che gli strumenti che sviluppa saranno utili a lungo termine per trovare risposte a grandi domande, come il problema del gemello primo.