Premio per la matematica: come impilare le arance in otto dimensioni?

“Tre settimane fa, la mia vita è cambiata per sempre in un modo drammatico che non avrei mai potuto immaginare”. È così che la matematica ucraina Maryna Viazovska ha iniziato il 16 marzo la sua presentazione alla Eidgenössische Technische Hochschule di Zurigo. Ha dedicato la sua storia, su “Interpolazione di Fourier”, alla sua connazionale di 21 anni Yulia Zdanovska, una stella nascente della matematica e dell’informatica, la cui vita è finita bruscamente durante il bombardamento di Kharkov, la seconda città dell’Ucraina.

Viazovska, 37 anni, professore presso l’École polytechnique fédérale de Lausanne in Svizzera dal 2018, ha ricevuto la prestigiosa medaglia Field a Helsinki il 5 luglio, tra l’altro per aver calcolato come confezionare in modo ottimale sfere di dimensioni maggiori. Il suo nome è già circolato sui forum di Internet, a volte accompagnato da commenti come “libertà per l’Ucraina”, come se si meritasse il premio per la sua nazionalità. Ma le medaglie Fields riguardano una cosa: la matematica rivoluzionaria. Non è l’Eurovision Song Contest.

Per Viazovska, l’Università di Kiev era “il posto migliore per studiare matematica”. Lo standard era estremamente alto. “Ma”, ha detto una volta in un’intervista, “dopo il diploma di maturità in Ucraina, la maggior parte sceglie di cercare un lavoro”. A Viazovska non piaceva, sentiva di non essersi ancora laureata.

Nel 2005 è andata all’estero. Ha conseguito il master a Kaiserslautern, in Germania, e si è trasferita a Bonn per il dottorato. Nel 2016 – Viazovska era ora un post-dottorato a Berlino – ha annunciato la soluzione a un problema notoriamente difficile. Aveva mostrato come le sfere a otto dimensioni possono essere impilate nel modo più efficiente possibile. Una svolta. La sua soluzione ha catturato l’attenzione del mondo.

Come si cercano tali sfere? Sono impossibili da visualizzare. Ma possono essere descritti con formule. Nel nostro familiare mondo tridimensionale, i punti sono etichettati con tre coordinate. Allo stesso modo, i punti a otto dimensioni sono etichettati con otto coordinate.

In due dimensioni, le sfere sono cerchi piatti. Per poter contenere un massimo di cerchi su una superficie, dividi la superficie in una griglia di esagoni regolari, il famoso nido d’ape. I cerchi quindi occupano quasi il 91% (pi diviso per la radice quadrata di 12) dell’intero piano. Che questo sia il modo più efficiente per posizionare i cerchi è stato dimostrato nel 1890.

Nel pozzo

La versione tridimensionale: come impilare le arance nel modo più efficiente? – ha anche una risposta ovvia. Stendi uno strato di arance seguendo lo schema dei cerchi, quindi posiziona un altro strato sopra nello stesso schema, in modo che ogni arancia cada esattamente in un pozzo del primo strato, e continua a ripetere questo strato dopo strato. La quantità di spazio occupato dalle arance è di circa il 74% (pi diviso per la radice quadrata di 18). Solo nel 1998 è stato dimostrato che non esiste un impilamento più efficiente. All’epoca, le prove furono accolte con un certo scetticismo perché si basavano molto sui calcoli del computer, ma ora nessuno ne dubita.

Una successiva domanda logica per i matematici è come le sfere di dimensioni superiori possono essere impilate in modo ottimale. La difficoltà è che non esiste un metodo risolutivo che possa essere utilizzato in tutte le dimensioni. Ogni dimensione ha le sue peculiarità. L’unica cosa generale che puoi dire a riguardo è che lo spazio tra le sfere aumenta all’aumentare della dimensione.

Le dimensioni 8 e 24 sono speciali. Lo spazio tra i due sarà quindi abbastanza grande da ospitare una nuova sfera tra i due. Le sfere si inseriscono perfettamente in una griglia, proprio come il nido d’ape bidimensionale. Il professionista parla della griglia E8 e della griglia Leech. In queste griglie, le sfere riempiono rispettivamente più del 25% (pi alla 4a potenza divisa per 384) e 0,19% (pi alla 12a potenza divisa per il fattoriale 12) dello spazio. Nell’ultimo caso a 24 dimensioni, in cui ogni sfera tocca non meno di 196.560 sfere adiacenti, la stragrande maggioranza dello spazio rimane vuota.

Sappiamo da tempo che queste griglie esistono, quindi possiamo facilmente impilare le sfere su di esse. Ma non è stato ancora dimostrato che non ci sia uno stack ancora più efficiente in termini di spazio. Nel 2003 ci sono stati sviluppi che potrebbero portare a prove. Die pogingen liepen spaak, maar in 2016 lukte het Viazovska voor dimensie 8. Kort daarna kon ze, met enkele collega’s, haar bewijs uitbreiden naar dimensie 24. En, anders dan bij de ‘gewone’ driedimensionale bollen, waren er voor het bewijs geen computerberekeningen necessario.

Codice QR danneggiato

La ricerca sugli impaccamenti di sfere di dimensioni superiori ha applicazioni nella teoria dei codici di correzione degli errori. Si può ancora leggere un codice QR stampato con un angolo strappato o con una macchia di caffè? È possibile recuperare la versione non danneggiata di un messaggio inviato digitalmente che è stato danneggiato? In linea di principio sì, purché il danno non sia troppo grande.

Il messaggio da inviare viene convertito in parole in codice corrispondenti a centri di sfere. Se si verificano errori, i bit della codeword cambiano, ma finché non sono troppi, la codeword rimane all’interno della sfera. Il codice danneggiato può quindi essere corretto collegandolo al centro della sfera.

Per questa applicazione, la prova di ottimalità di Viazovska non è necessaria. Le griglie E8 e Leech in precedenza erano utili anche per le applicazioni di codice di correzione degli errori. Ma per Viazovska, questo tipo di app è solo un sottoprodotto. Grazie al suo lavoro si aprono nuove prospettive per la matematica pura.